Turbomachinery Design and Theory - Ch1. Introduction (1.27~1.28)

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1.27 오일러 터빈방정식

유체기계의 로터를 통과하는 유체의 흐름을 정상상태로 가정해보자. 난류나 다른 손실들은 무시될 수 있으며, 질량유량 m은 일정하다. 그림(1.17)에서 보듯이 w(omega)[rad/s]는 축 A-A에 관한 각속도이다. 유체는 점 1에서 로터로 들어가고, 점 2에서 나온다. 유체기계 분석에서, 가장 중요한 변수는 유체 속도와 서로 다른 방향에서의 변수이다. 블레이드 설계시, 속도 벡터는 매우 유용하다. 스테이터안의 유체 흐름은, 절대속도(the absolute velocity)가 주요하다 (i.e.,C) 

회전하는 블레이드의 로터를 가르는 유체속도는 반드시 고려되어야 한다. 유체는 축 A-A로부터, 반경 r1, 속도 C1으로 들어온다. 점2에서 유체는 절대속도로 떠난다. 점 2는 축 A-A로부터 반경 r2이다. 회전하는 디스크는 터빈 혹은 압축기일수 있다. 유체를 정상류로 제한할 필요가 있으며, 유량은 일정하다.(로터에서 유체의 추가는 없다).

입구에서 로터로 들어오는 속도 C1은 세요소로 분류할 수 있다.

-회전축에 평행한 방향에서의 축방향 속도

-회전축에 수직한 방향에서의 반경 속도

- 반지름에 수직인 방향에서의 선회(whirl) 혹은 접선(tangential) 속도

비슷하게, 출구 속도 C2는 세요소로 분류된다. 즉 , ,

로터를 통해 축방향 속도 성분의 크기 변화는 고정된 케이싱에 트러스트 베어링에 의해 작용되어야만 하는 축방향힘을 전달한다. 반경속도성분의 크기 변화는 반경 힘을 만들어낸다. 둘다 로터의 각운동에는 영향을 미치지 않는다. 선회 혹은 접선 성분 Cw는 회전효과를 생산하며 이는 다음과 같이 표현할 수 있다.

섹션1을 들어가는 유체의 단위 질량과 단위 시간에 떠나는 것,

입구에서의 각운동량(angular momemtum) : Cw1r1

출구에서의 각운동량(angular momentum): Cw2r2

그러므로 각운동량 변화량은 다음과 같다. = Cw1r1-Cw2r2

뉴턴의 운동법칙에 의하면, 로터에 가해진 모든 힘의 합은 동일하다. i.e 로터의 Net torque (tau)

정상유동조건하에서, 유량 m을 사용하면 로터에 작용하는 토크는 다음과 같다.

그러므로 에너지 전달률 W는 토크의 생산물이며 로터의 각속도 w(omega)는 다음과 같다.

단위유량에서, 에너지는 다음과 같다.

그러나, 

그리하여, 

W는 단위 질량당 전달된 에너지이며 U1, U2는 입출구에서의 로터 속도이다. (식1.78)은 오일러 터빈 방정식이다. 

표준 열역학 기호규칙에서는 유체에 의해 행해진 일이 +, positive이고 유체에 행한 일이 -, negative이다.

이것은 터빈에 의해 생산된일은 양(+)이고, 압축기혹은펌프에 의해 흡수된 일은 음(-)이다.

그러므로, 에너지전달방정식은 분리할 수 있다.

for turbine

for compressor and pump

오일러터빈방정식은 물, 스팀, 공기, 연소생성물처럼 작은 점도를 가지는 유체의 흐름을 평가하는데 유용하다.

오일러 터빈 방정식으로부터 토크를 계산하기 위해서는, 속도성분 Cw1, Cw2 그리고 로터 스피드 U1, U2 혹은 V1, V2, Cr1, Cr2, U1, U2를 알 필요가 있다. 이러한 양들은 그림 1.18 로터 입출구에서 속도삼각형을 그림으로써 쉽게 결정될 수 있다.

속도 삼각형은 유체기계의 문제를 해결하는데 주요한 작용을 하며, 보통 단일의 다이어그램으로 표현될수 있다.

이는 속도 삼각형이다.

이러한 것들이 벡터 삼각형이기 때문에, 두 속도 U ,V는 서로 비례하여 V의 꼬리는 U의 머리이다.

그리하여 U의 벡터합과 V는 벡터 C 와 같다. 유체기계 로터를 통과하는 흐름, 절대 속도 C1, C2 뿐만 아니라 상대속도 V1, V2는 이미 언급했듯이 세개 성분을 가진다.

하지만, 두개의 속도성분과 로터에 접선 성분 Cw와 그에 또다른 수직성분은 충분하다.

성분 Cr은 자오면 성분이라고 불리우며, 유체기계 축을 통과한다. 속도 성분 Cr1, Cr2는 유체 속도 성분이며, 유체기계의 형태에 의존하여 축방향 혹은 반경방향이다.

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1.28 에너지 전달 성분 (Components of energy transfer)

오일러 방정식은  다른 형태로 변형할 수 있고, 설계면에서 편리할 뿐만 아리나, 에너지 전달의 기초 물리학적 개념을 이해하는데 유용하기에 유용하다. 유체기계의 입출구에서의 유체 속도를 고려해보자. 

첫번째 항목는 입출구 사이의 유체의 절대운동에너지 변화에 의한 에너지 전달을 나타낸다. 펌프나 압축기에서, 로터로부터의 출구 운동 에너지, 는 고려될 수 있다. 보통, 유용한 에너지로터 필요한 헤드(Static Head) 혹은 압력이다. 보통 로터 출구에서 운동에너지가 디퓨져를 통과하면서 정압으로 변경된다. 터빈에서 절대 운동 에너지의 변화는 유체에서 로터로의 전달된 파워를 나타내며, 이는 추진력 영향때문이다. 절대 운동 에너지 변화가 압력 상승을 달성할 수 있도록 사용된다면, 이는 가압력상승 혹은 압력상승이라고 불리우며 이는 달성 가능하다. 디퓨져에서의 압력 상승의 양은 물론 디퓨져의 효율에 의존한다.

이러한 압력 상승이 디퓨져로 오기 때문에, 이 항목인 는 때때로 외부효과라고 불린다.

식 (1.70)의 다른 두개의 항목은 로터 자체내에서 압력 상승을 생산하는 요소들이며 이는 내부 확산이라 불린다.

원심효과  는 유체기계의 가장자리로 흐르는 유체 분자로서 발달된 원심 효과 때문이다.

세번째 텀 는 유체의 상대적인 운동 에너지 변화때문에 에너지 전달을 나타낸다. 만약 V2>V1이라면 관은 노즐처럼 행동하며, 만약 V2<V1이라면 디퓨져처럼 행동한다. 위 의견으로부터 이것은 터보압축기에서 분명하다. 그리고 압력 상승은 두가지 효과 외부효과, 내부 확산에 의한다. 하지만 축류압축기에서 원심 효과는 전혀 이용되지 않는다.

이는 모든 운동에너지 효과가 이용가능항 단별 압력 상승이 기계에서보다 작기 때문이다. 터빈은 같은 효과로부터 파워를 이끄는 것도 언급되어야 한다.